Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．
①當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點P，使∠OQA為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把A，B兩點的坐標代入拋物線方程聯立方程組求解a，b的值，則拋物線的方程可求；
（2）①首先求出C點坐標，設出直線BC的方程后把B，C的坐標代入求出直線BC的方程，線段PQ的長度用P點的橫坐標表示，配方后根據x的取值范圍，利用二次函數的單調性求得最大值；并求出此時x的取值；
②假設存在點P，使得∠OQA為直角，由平面幾何知識、利用角的關系得到△ODQ∽△QDA，由對應邊成比例得到DQ²=OD•DA代入線段長度后得到關于x的方程，求解方程即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2=0 36a+6b+2=0

，
解得：

a= 1 9 b=-1

，
∴所求拋物線的函數表達式是y=

1

9

x2-x+2；
（2）①∵當x=0時，y=2，
∴點C的坐標為（0，2），
設直線BC的函數表達式是y=kx+b，
則有

6k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 3 b=2

，
∴直線BC的函數表達式是y=-

1

3

x+2，
∵0＜x＜6，
∴PQ=yQ-yP=(-

1

3

x+2)-(

1

9

x2-x+2)=-

1

9

x2+

2

3

x
=-

1

9

(x-3)2+1．
∴當x=3時，線段PQ的長度取得最大值，最大值是1；
②存在這樣的點P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)，使∠OQA為直角．
事實上，
當∠OQA=90°時，設PQ與x軸交于點D，
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD，
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA，
∴

DQ

OD

=

DA

DQ

，即DQ²=OD•DA．
∴(-

1

3

x+2)2=x(3-x)，整理得：10x²-39x+36=0．
∴x1=

3

2

，x2=

12

5

．
∴y1=

1

9

×(

3

2

)2-

3

2

+2=

3

4

，y2=

1

9

×(

12

5

)2-

3

2

+2=

6

25

．
∴P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．
∴所求的點P的坐標是P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．

點評：本題考查了拋物線的方程及簡單幾何性質，考查了直線與拋物線的關系，考查了學生綜合處理問題和解決問題的能力，考查了運算能力，解答此題的關鍵是借助于平面幾何知識，把形的關系轉化為量的關系，是壓軸題．