Question

如圖，拋物線y=x²上有一點A（a，a²），a∈（0，1），過點A引拋物線的切線l分別交x軸與直線x=1于B，C兩點，直線x=1交x軸于點D．
（1）求切線l的方程；
（2）求圖中陰影部分的面積S（a），并求a為何值時，S（a）有最小值？

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則可得y′，利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，進而得到切線的方程；
（2）利用切線的方程即可得出點B，C的坐標，再利用微積分基本定理即可得出陰影部分的面積S(a)=

∫

1 0

x2dx-S△BCD，再利用導數即可得出．

解答：解：（1）∵y=x²，∴y'=2x，
∴切線l的方程是y-a²=2a（x-a），即2ax-y-a²=0；
（2）由2ax-y-a²=0，令y=0，解得x=

a

2

，∴B(

a

2

，0)；
令x=1，解得y=2a-a²；
∴|BD|=1-

a

2

，|CD|=2a-a²，
∴S△BCD=

1

2

|BD||CD|=

1

4

(a3-4a2+4a)．
∴S(a)=

∫

1 0

x2dx-S△BCD=

1

3

-

1

4

(a3-4a2+4a)．
∴S′(a)=-

1

4

(3a2-8a+4)=-

1

4

(a-2)(3a-2)．
令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=

2

3

．
當a∈(0，

2

3

)時，S'（a）＜0；
當a∈(

2

3

，1)時，S'（a）＞0．
∴a=

2

3

時，S（a）有最小值．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、微積分基本定理、導數的幾何意義等是解題的關鍵．