Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N^*）
（I）求證：數列{a_n-2n}為等比數列；
（II）設b_n=a_n•cosnπ，求數列{b_n}的前n項和P_n．

Answer 1

分析：（I）將S_n=2a_n+n²-3n-2利用數列中a_n，Sn的關系進行轉化構造出新數列{a_n-2n}，再據其性質證明．
（Ⅱ）將（I）中所求的a_n代入bn，分組求和法求和．

解答：解：（I）∵S_n=2a_n+n²-3n-2①∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
兩式相減，得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，∴a_n+1=2a_n-2n+2
故a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），又在①式中令n=1得a₁=4，∴a₁-2≠0∴

an+1-2(n+1)

an-2n

=2，
∴{a_n-2n}為等比數列                  
（II）由（I）知：a_n-2n=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+2n且cosnπ=（-1）ⁿ
當n為偶數時，設n=2k（k∈N^*）
則P_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）={-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^2k-1+2（2k-1）]}+[（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2^2k+2k）]=-（2+2³+…+2^2k-1）-2[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）+2（2+4+…+2k）=-（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2[-1+2-3+4-…-（2k-1）+2k]=-

2[1-(-2)2k]

1-(-2)

+2k=

2

3

(2n-1)+n
當n為奇數時，設n=2k-1（k∈N^*），同理可得Pn=-

2(2k-1)+1+2

3

-[(2k-1)+1]=-

2n+1+2

3

-(n+1)=-

2n+1

3

-n-

5

3

綜上所述，Pn=

- 2n+1 3 -n- 5 3 ，n為奇數 2 3 (2n-1)+n，n為偶數

點評：本題考查等比數列的判斷、數列求和，轉化，計算的能力．