Question

關于函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)，有下列命題：
（1）y=f(x+

π

3

)為奇函數；
（2）要得到函數g（x）=2cos2x的圖象，可以將f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位；
（3）y=f（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱；
（4）y=f（|x|）為周期函數．
其中正確命題的序號為

（1）（2）（3）

．

Answer 1

分析：（1）依題意，可知f（x+

π

3

）=-2sinx，利用正弦函數的奇偶性即可判斷其正誤；
（2）依題意，可求得f（x+

π

12

）=2sin[2（x+

π

12

）+

π

3

]=2cosx，從而可知其正誤；

解答：解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∴g（x）=f（x+

π

3

）=2sin[2（x+

π

3

）+

π

3

]=2sin（2x+π）=-2sinx，
g（-x）=-2sin（-x）=2sinx=-g（x），
故g（x）=f（x+

π

3

）為奇函數，（1）正確；
（2）f（x+

π

12

）=2sin[2（x+

π

12

）+

π

3

]=2cosx，
故要得到函數g（x）=2cos2x的圖象，可以將f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，故（2）正確；
（3）∵f（

π

12

）=2sin（2×

π

12

+

π

3

）=2，而f（x）_max=2，
∴y=f（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱，故（3）正確；
（4）∵y=f（|x|）=2sin（2|x|+

π

3

）為偶函數，其圖形關于y軸對稱，但不是周期函數，故（4）錯誤．
∴正確命題的序號為（1）（2）（3）．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查正弦函數的平移變換與奇偶性應用，屬于中檔題．