Question

【題目】已知△ABC是銳角三角形，cos22A+sin2A=1.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若BC=1，B=x，求△ABC的周長f（x）的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 單調(diào)增區(qū)間是（0，]，單調(diào)減區(qū)間是[，）.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由已知cos22A+sin2A=1，把左邊的一項(xiàng)移到右邊，應(yīng)用同角關(guān)系式化簡，再用二倍角公式變形，可求得A角；(Ⅱ)由正弦定理求出另兩邊長，得周長，由兩角和的正弦公式化為一個(gè)三角函數(shù)形式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)區(qū)間，求解時(shí)要注意函數(shù)的定義域.

試題解析：(Ⅰ)∵cos22A+sin2A=1，

∴cos22A=cos2A∴cos2A=±cosA，∴2cos2A﹣1±cosA=0，

∵△ABC是銳角三角形，∴cosA=，∴A=.

(Ⅱ)∵BC=1，B=x，

∴AC=sinx，AB=cosx+sinx，

∴△ABC的周長f（x）=1+cosx+sinx=1+2sin（x+），

∴當(dāng)﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，（k∈Z）時(shí)，x∈[﹣+2kπ， +2kπ]，

∵x∈（0，）∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，]，單調(diào)減區(qū)間是[，）.