Question

【題目】如圖所示的幾何體中，為三棱柱，且平面，四邊形為平行四邊形，．

（1）若，求證：平面；

（2）若，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接交于，因為，又平面，所以，所以為正方形，所以；（2）分別以直線為建立直角坐標系，則， ，求平面和平面的法向量，再有二面角的夾角公式，求得,所以，此時，，利用等積法．

試題解析：（1）證明：連接交于，因為，又平面，

所以，所以為正方形，所以，

在中，,由余弦定理得，

所以,所以

所以，又. 所以平面,所以，

所以平面.

（2）如圖，分別以直線為建立直角坐標系，則，

,

設平面的法向量為，由

即 解得， 所以，

設平面的法向量為，

由 得解得

由 得

所以，此時，，

所以.