Question

8、設定義在R上的函數f（x）存在反函數，且對于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-3）=2，則f^-1（2009-x）+f^-1（x-2007）的值是（　　）

A、-2

B、0

C、2

D、不確定，與x有關

Answer 1

分析：由換元得f（t）+f（-t-2）=2，注意（2009-x ）與 （x-2007 ）的和等于2，若（2009-x ）與 （x-2007 ）一個是t，則另一個是-t-2，再應用反函數的定義解出 t 和-t-2．

解答：解：∵f（x+1）+f（-x-3）=2，∴f（t）+f（-t-2）=2，
令 2009-x=m，x-2007=n，∴m+n=2，
∴可令 f（t）=m，f（-t-2）=n，由反函數的定義知，
∴t=f^-1（m），-t-2=f^-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-2，
即：f^-1（2009-x）+f^-1（x-2007）的值是-2，
故選A．

點評：本題考查反函數的定義，體現換元的數學思想．