Question

【題目】已知函數，（為常數，且）.

（1）若當時，函數與的圖象有且只要一個交點，試確定自然數的值，使得（參考數值，，，）；

（2）當時，證明：（其中為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）見解析

【解析】分析：（1）記，求得，分和討論，即可得到函數的單調性和最小值，函數與的圖象有且只有一個交點，得，進而可求解的取值范圍，確定的值．

（2）由（1）得：當時，只要證明：時，，

記，求得 ，

記，利用二次函數的圖象與性質，即可作出證明．

詳解：（1）記 ，則，

當時，因為，，函數單調遞增，，

函數無零點，即函數與的圖象無交點；

當時，，且時，，

時，，

所以，，函數與的圖象有且只有一個交點，得，

化簡得：，

記，，所以在上單調遞減，

又， ，

所以，即.

（2）由（1）得：當時，，只要證明：

時，即，

記，

則 ，

記，

圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，

且，所以當時，，即，

所以在區間上單調遞增，從而，

即成立，所以成立.