Question

如圖,是以為直徑的上一點,于點,過點作的切線,與的延長線相交于點是的中點,連結并延長與相交于點,延長與的延長線相交于點.

(1)求證:；
(2)求證:是的切線；
(3)若,且的半徑長為,求和的長度.

Answer 1

（1）根據三角形的相似來證明，
（2）要證明直線是圓的切線，只要證明圓心與切點的連線與直線垂直即可。
（3），

解析試題分析：．(1)證明：是的直徑，是的切線，
．又，．
易證，．
．．
是的中點，．．
(2)證明：連結．是的直徑，．
在中，由（1），知是斜邊的中點，
．．又，．
是的切線，．
，是的切線．
(3)解：過點作于點．，．
由(1)，知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．，，即．
，四邊形是矩形，．
，易證．，即．
的半徑長為，．．
解得．．，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（負值舍去）．．
［或取的中點，連結，則．易證