Question

已知函數
（I）討論在其定義域上的單調性；
（II）當時，若關于x的方程恰有兩個不等實根，求實數k的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）1)時，在單調遞增；  2)時，在單調遞減；在單調遞增.  （Ⅱ）

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，通過導數與函數單調性的關系的研究得到函數的最值，并從而研究函數與方程的問題的綜合試題。
（1）對求導得然后分析根與定義域的位置關系來判定函數的單調性。
（2）要分析方程根的問題，可以轉化為圖像與圖像的交點問題來解決。
解：（Ⅰ）對求導得：；……2分
則顯然有
當時，即，時，，則：在單調遞增；
當時，即；當時，，則在單調遞減；
當時，，則在單調遞增；
綜上可知：1)時，在單調遞增；
2)時，在單調遞減；在單調遞增.……6分
（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）可知：；于是：
當時，，則：在單調遞減；
當時，，則：在單調遞增；
當時，，，；
欲使方程恰有兩個不等實根，則有：