Question

（本題滿分14分）已知函數，.
（1）若函數依次在處取到極值.
①求的取值范圍；
②若，求的值.
（2）若存在實數，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數 的最大值

Answer 1

（1）①     ②
（2）的最大值為5

(1)①由題意可知方程有三個不同的實數根.
然后再構造函數,利用導數研究g(x)的圖像特征，根據其極值和g(x)有三個零點建立關于t的不等式，求出t的取值范圍.
②,

然后根據對應系數相等建立關于a,b,c,t的方程，求出a,b,c,t的值.
(1)   解決本小題的關鍵是做好幾個轉化：不等式 ，即，
即.轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.然后構造,利用導數研究其最小值即可.
解：（1）①


…………5分
②

,……10分
（2）不等式 ，即，即.
轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設，則.
設，則，因為，有.
故在區間上是減函數.又
故存在，使得.
當時，有，當時，有.
從而在區間上遞增，在區間上遞減.
又

所以當時，恒有；當時，恒有；
故使命題成立的正整數的最大值為5.