Question

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數．

（1）當時，求函數的表達式；

（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當車流密度為輛/千米時，車流量達到最大，且最大值約輛/小時.

【解析】試題分析：（1）設v（x）=ax+b.利用x的范圍，列出方程組求解a，b，即可得到函數的解析式；（2）求出車流量f（x）=v（x）x的表達式，然后求解最大值即可

試題解析：（1）由題意：當0≤x≤20時，v（x）＝60；

當20≤x≤200時，設v（x）＝ax＋b，

再由已知得解得故函數v（x）的表達式為

（2）依題意并由（1）可得

f（x）＝

當0≤x≤20時，f（x）為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200；

當20≤x≤200時，f（x）＝x（200－x）≤ []2＝，

當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立.

所以，當x＝100時，f（x）在區間上取得最大值.

綜上，當x＝100時，f（x）在區間上取得最大值≈3 333，

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/小時.