Question

【題目】已知函數f（x）=log4（4x+1）﹣ x．
（1）試判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）設g（x）=log4（a2x﹣ a），若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為R上的偶函數，以下進行證明：

易知，f（x）的定義域為R，關于原點對稱；

因為f（x）=log4（4x+1）﹣ x=log4（4x+1）﹣ = = ．，

所以f（﹣x）= =f（x），所以f（x）為R上的偶函數

（2）解：f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，只需方程 =log4（a2x﹣ a）有且只有一個實根，即方程 有且只有一個實根．

令t=2x＞0，則方程（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有且只有一個正根

①a=1時t=﹣ ，不合題意；

②若△=0則a= 或者a=﹣3；

若a= ，則t=﹣2，不合題意；若a=﹣3則t= ，符合題意

③若△＞0，則方程有兩根，顯然方程沒有零根．

所以依題意知，方程有一個正根與一個負根，即 解得a＞1，

綜上所述：實數a的取值范圍是{﹣3}∪（1，+∞）

【解析】（1）利用奇偶函數的定義進行判斷；（2）f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，等價于方程 =log4（a2x﹣ a）有且只有一個實根，令t=2x＞0，則方程（a﹣1）t2﹣ at﹣1=0有且只有一個正根．對系數a討論，得知．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)．