Question

【題目】若橢圓C1： 的離心率等于 ，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點在橢圓C1的頂點上．
（1）求拋物線C2的方程；
（2）求過點M（﹣1，0）的直線l與拋物線C2交E、F兩點，又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2 ， 當l1⊥l2時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知橢圓的長半軸為2，半焦距

由離心率等于

∴b2=1∴橢圓的上頂點（0，1）∴拋物線的焦點為（0，1）

∴拋物線的方程為x2=4y

（2）解：由已知，直線l的斜率必存在，設直線l的方程為y=k（x+1），E（x1，y1），F（x2，y2），

，∴ ，

∴切線l1，l2的斜率分別為

當l1⊥l2時， ，即x1x2=﹣4

由 得：x2﹣4kx﹣4k=0

∴△=（4k）2﹣4×（﹣4k）＞0解得k＜﹣1或k＞0①

∴x1x2=﹣4k=﹣4，即：k=1

此時k=1滿足①

∴直線l的方程為x﹣y+1=0

【解析】（1）根據長半軸是2求出a的值，再表示出半焦距c，根據離心率的值求出b的值，從而可得到拋物線的焦點坐標，得到拋物線的標準方程．（2）先根據題意設出直線l的方程和點E、F的坐標，然后對拋物線方程進行求導運算，進而得到切線l1 ， l2的斜率，根據l1⊥l2可得到x1x2的值，再聯立直線l與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，進而可表示出兩根之積，再結合x1x2的值可確定k的值，最后將k的值代入到直線方程即可得到答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一般式方程(直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）)．