Question

（本題滿分12分）如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC。
（1）求證：FB＝FC；
（2）若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的長。

Answer 1

證明：見解析；（2）.

本試題主要是考查了圓內的性質的運用，以及直角三角形中邊角關系的綜合運用。
（1）因為AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.
因為四邊形AFBC內接于圓，所以，所以，
所以，所以FB＝FC.
（2）因為AB是△ABC的外接圓的直徑，則所對的圓周角為直角，然后利用圓周角定理得到邊長。
證明：因為AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.
因為四邊形AFBC內接于圓，所以，所以，
所以，所以FB＝FC.    
（2）解：因為AB是△ABC的外接圓的直徑，所以.
因為=，所以，.  
在Rt△ACB中，因為BC＝6，，所以. 
又在Rt△ACD中，，，所以.