Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，對稱軸為直線的拋物線與軸交于兩點，其中點的坐標為，與軸交于點，作直線.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點是直線下方拋物線上的一個動點，連結.當面積最大時，求點的坐標；

（3）如圖，在（2）的條件下，過點作于點交軸于點將繞點旋轉得到在旋轉過程中，當點或點落在軸上(不與點重合)時，將沿射線平移得到，在平移過程中，平面內是否存在點使得四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)；(3) 所有符合條件的點坐標為或

【解析】

(1)分別根據對稱軸方程,再代入點的坐標進行求解即可.

(2) 過作軸交于,進而根據表達出關于的橫坐標的表達式,再根據二次函數的最值求解即可.

(3)分兩種情況,設平移的距離為,再根據菱形滿足即可求得,進而根據菱形的性質可求得

拋物線對稱軸為.

且點的坐標為.點的坐標為

.解得

拋物線的解析式為

(2)過作軸交于.設,

設的解析式為,則,解得.

故的解析式為.則

則

.

故當時,取最大值.此時

(3) 存在,所有符合條件的坐標為,.

提示：.

①當落在軸上時,如圖,點,,

設平移距離是,則,.

由得 ,解得.

此時,,所以.

②當落在軸上時,如圖,點,,

設平移距離是,則,.

由得 ,解得.

此時,,所以.

綜上所述,所有符合條件的點坐標為或