Question

【題目】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中點，求證：

（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；

（Ⅱ）A1C//平面AB1E．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】題分析：（1）先根據直棱柱的性質，可得平面，可得，再根據等腰三角形性質可得，從而可得平面，進而得出結果；（2）連接，設，連接，由平行四邊形的性質結合中位線定理可得.根據線面平行的判定定理可得結果.

試題解析：證明：

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC．

因為AE平面ABC，

所以CC1AE．

因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AEBC．

因為BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，

且BC∩CC1＝C，

所以AE平面B1BCC1．

因為AE平面AB1E，

所以平面AB1E平面B1BCC1.

（2）連接A1B，設A1B∩AB1＝F，連接EF．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1B1B為平行四邊形，

所以F為A1B的中點．

又因為E是BC的中點，所以EF∥A1C．

因為EF平面AB1E，A1C平面AB1E，

所以A1C∥平面AB1E.