Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．

（1）證明：BE⊥DC；
（2）求直線BE與平面PBD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以點A為原點建立空間直角坐標系（如圖），

依題意，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．

可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．E（1，1，1）．

那么： =（0，1，1）， =（2，0，0）

=0×2+1×0+1×0=0

所以，BE⊥DC．

得證

（2）解：設n=（x，y，z）為平面PBD的法向量．由（1）各點的坐標可知，

那么： =（﹣1，2，0）， =（﹣1，0，2）， =（0，1，1）

∵法向量余平面內任何一條向量都垂直：

聯立： ，即： ，不妨令y=1，則x=2，z=1

解得其中一條法向量n=（2，1，1）．

設直線BE與平面PBD所成角為θ，

sinθ=|cos＜n， ＞|=| |= = ．

∴cosθ= ，

所以，直線BE與平面PBD所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）由題意：PA⊥底面ABCD，底面是一個直角梯形，以點A為原點建立空間直角坐標系，依次計算：B，C，D，P，的空間坐標，根據向量坐標運算法則，證明BE⊥DC；（2）設n=（x，y，z）為平面PBD的法向量．利用法向量與平面內任何一條直線都垂直的坐標關系，解出法向量坐標，向量之間的夾角公式，即可解出直線與平面所成的角．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．