Question

已知橢圓C₁：=1（a＞b＞0）和圓C₂：x²+y²=r²（r＞0）都過點P（-1，0），且橢圓C₁離心率為，過點P作斜率為k₁，k₂的直線分別交橢圓C₁、圓C₂于點A、B、C、D（如圖），k₁=2k₂．
（1）求橢圓C₁和圓C₂的方程；
（2）求證：直線BC恒過定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把定點代入圓的方程求圓的半徑，利用橢圓過定點得到a的值，代入離心率后求得c的值，結合b²=a²-c²求得b的值，則圓與橢圓的方程可求；
（2）設出直線AB和CD的方程，分別和圓與橢圓聯立后求出A，B，C，D的坐標，求出BC的斜率（用k₂）表示，由點斜式寫出直線BC的方程后可得直線BC恒過定點．
解答：（1）解：由圓C₂：x²+y²=r²（r＞0）過點P（-1，0），得到r²=1，
所以圓C₂的方程為x²+y²=1．
由橢圓C₁離心率為=，
由橢圓C₁：=1（a＞b＞0）過點P（-1，0），得，
所以a=1，代入，得c=，
所以．
所以橢圓C₁的方程為x²+2y²=1；
（2）證明：由題意可設直線AB的方程為y=k₁（x+1），直線CD的方程為y=k₂（x+1）．
由．
由．
同理可得：，
所以，因為k₁=2k₂，所以，
所以直線BC的方程為．
即，恒過定點（1，0）．
點評：本題考查了圓與橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線的關系問題，往往需要涉及繁雜的計算，這就需要學生有較強的運算能力，屬難題．