Question

已知橢圓C₁：=1,拋物線C₂：(y-m)²=2px(p＞0),且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

(1)當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(2)若p=且拋物線C₂的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.

Answer 1

解：（1）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱.

所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）.

因為點A在拋物線上，所以=2p,即p=.

此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.

（2）當C₂的焦點在AB上時，由（1）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k(x-1).

由

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0                              ①

設A、B的坐標分別為（x₁,y₁）(x₂,y₂),

則x₁、x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=.

因為AB既是過C₁的右焦點的弦，又是過C₂的焦點的弦，

所以|AB|=（2-x₁）+(2-x₂)=4-(x₁+x₂),

且|AB|=（x₁+）+(x₂+)=x₁+x₂+p=x₁+x₂+.

從而x₁+x₂+=4-(x₁+x₂).

所以x₁+x₂=,即

解得k²=6,即k=±.

因為C₂的焦點F′(,m)在直線y=k(x-1)上，

所以m=-k,即m=或m=-.

當m=時，直線AB的方程為y=-(x-1);

當m=-時，直線AB的方程為y=(x-1).