Question

已知橢圓C₁：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l：x-y+=0與橢圓C₁相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直與橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x，y）是C₂上不同的點，且AB⊥BC，求實數y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為e=，橢圓 C₁的方程可設為 ，與直線方程 x-y+=0 聯立，由判別式等于0解出c值，即得橢圓 C₁的方程．
（2）由題意可知，點M的軌跡C₂ 是以直線 l₁ 為準線，點F₂為焦點的拋物線，由直線l₁的方程為X=-1，點P的坐標為（1，0），可得點M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點坐標為（1，2），由•=0，可得（x₂-1，y₂-1）•（x-x₂，y-y₂ ）=0，方程 y₂²+（2+y ）y₂+（2y+16）=0 有不為2的解，故 y²-4y-60≥0，且y≠-6，從而解得 y 的取值范圍．
解答：解：（1）因為e==，所以，a= c，b= c，橢圓 C₁的方程可設為 ，
與直線方程 x-y+=0 聯立，消去y，可得 5x²+6x+15-6c²=0，
因為直線與橢圓相切，所以，△==0，
又因為c＞0，所以 c=1，所以，橢圓 C₁的方程為 ．
（2）由題意可知，PM=MF₂，又PM為點M到直線l₁ 的距離，
所以，點M到直線l₁的距離與到點 F₂的距離相等，
即點M的軌跡C₂ 是以直線 l₁ 為準線，點F₂為焦點的拋物線，
因為直線l₁的方程為X=-1，點P的坐標為（1，0），所以，點M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點坐標為（1，2）． 因為AB⊥BC，所以，•=0，
即 （x₂-1，y₂-1）•（x-x₂，y-y₂ ）=0，又因為  ，，
所以， （y₂²-4 ）（y²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y-y₂ ）=0，
因為 y₂≠2，y₂≠y，所以，，
整理可得：y₂²+（2+y ）y₂+（2y+16）=0，關于 y₂ 的方程有不為2的解，所以
△=（2+y）²-4（2y+16）≥0，且 y≠-6，
所以，y²-4y-60≥0，且y≠-6，解得 y 的取值范圍為 y＜-6，或 y≥10．
點評：本題考查求橢圓的標準方程，直線和橢圓的位置關系的應用，式子的化簡變形是解題的易錯點．