Question

已知橢圓C₁：+=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為，F₁、F₂分別為其左右焦點．一動圓過點F₂，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求橢圓C₁的方程； （ⅱ）求動圓圓心C軌跡的方程；
（Ⅱ）在曲線上C有兩點M、N，橢圓C₁上有兩點P、Q，滿足MF₂與共線，與共線，且•=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）由題設知：，由此能求出橢圓方程．
（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點為（1，0），準線方程為x=1，由此能求出動圓圓心軌跡方程．
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，|MN|=4，此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，從而四邊形PMQN面積為8；設直線MN的斜率為k，直線MN的方程為：y=k（x-1），直線PQ的方程為y=，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由拋物線定義可知：|MN|=4+，由此求出S_PMQN=＞8，所以四邊形PMQN面積的最小值為8．
解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由題設知：，
∴a=2，c=1，b=，
∴所求的橢圓方程為．
（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，
且拋物線C的焦點為（1，0），
準線方程為x=1，則動圓圓心軌跡方程為C：y²=4x．
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，|MN|=4，
此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，
從而=8，
設直線MN的斜率為k，直線MN的方程為：y=k（x-1），
直線PQ的方程為y=，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由拋物線定義可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
==4+，
由，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
從而|PQ|==，
∴S_PMQN==
=
=24，
令1+k²=t，∵k²＞0，則t＞1，
則S_PMQN=
=
=．
因為3-=4-（1+）²∈（0，3），
所以S_PMQN=＞8，
所以四邊形PMQN面積的最小值為8．
點評：本題考查橢圓方程和軌跡方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．