Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側面為等邊三角形，且平面平面.

（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；

（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）分別取的中點為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計算即可；

（2）求出，利用計算即可.

（1）分別取的中點為，連結.

因為∥，所以∥.

因為，所以.

因為側面為等邊三角形，

所以

又因為平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

所以兩兩垂直.

以為空間坐標系的原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，則，

，.

設平面的法向量為，則，即.

取，則，所以.

又為平面的法向量，設平面與平面所成的銳二面角的大小為，則

，

所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.

（2）由（1）得，平面的法向量為，

所以成.

又直線與平面所成角為，

所以，即，

即，

化簡得，所以，符合題意.