Question

【題目】已知λ，μ為常數，且為正整數，λ≠1，無窮數列{an}的各項均為正整數，其前n項和為Sn，對任意的正整數n，Sn=λan﹣μ．記數列{an}中任意兩不同項的和構成的集合為A．

（1）證明：無窮數列{an}為等比數列，并求λ的值；

（2）若2015∈A，求μ的值；

（3）對任意的n∈N*，記集合Bn={x|3μ2n﹣1＜x＜3μ2n，x∈A}中元素的個數為bn，求數列{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）31或403；

（3）bn=n（n∈N*）

【解析】

（1）證明：∵Sn=λan﹣μ．當n≥2時，Sn﹣1=λan﹣1﹣μ，

∴an=λan﹣λan﹣1，λ≠1，∴，

∴數列{an}為等比數列，

∵各項均為正整數，則公比=為正整數，λ為正整數，

∴λ=2．

（2）解：由（1）可得：Sn=2an﹣μ，當n=1時，a1=μ，則an=μ2n﹣1，

∴A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，

∵2015∈A，∴2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，

∵j﹣i＞0，則1+2j﹣i必為不小于3的奇數，

∵2i﹣1為偶數時，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，∴i=1，

∴μ（1+2j﹣1）=5×13×31，

只有j=3，μ=403或j=7，μ=31時，上式才成立，

∴μ=31或403．

（3）解：當n≥1時，集合Bn={x|3μ2n﹣1＜x＜3μ2n，x∈A}，

即3μ2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ2n，1≤i＜j，i，j∈N*．Bn中元素個數，

等價于滿足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），

若j＞n+2，則2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+1＞3×2n+1，矛盾．

若j＜n+2，則2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n，矛盾．

∴j=n+2，又∵（21+2n+2）﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n＞0，

∴3×2n＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，

即i=1，2，…，n時，共有n個不同的解（i，j），即共有n個不同的x∈Bn，

∴bn=n（n∈N*）．