Question

【題目】設函數．

（1）求的單調區間；

（2）設，且有兩個極值點其中，求的最小值；

（3）證明：＞（n∈N*，n≥2）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）證明詳見解析.

【解析】

（1）求函數的定義域和導數，討論的取值范圍，利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可．

（2）求出函數的表達式，求出函數的導數，令，得，其兩根為，且，所以

所以設，求導研究單調性求最值.

（3）因為，所以要證，令，則

，即證

，由（1）知易證明成立.

（1）的定義域為.

①當時，恒成立，在定義域上單調遞增；

②當時，令得，

（ⅰ）當時，即時，恒成立，

所以在定義域上單調遞增；

（ⅱ）當時，即時，的兩根為或，

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

綜上，當，在定義域上單調遞增，無遞減區間；

當時，的遞增區間為，，

遞減區間為

（2）（2）的定義域為，

令，得，其兩根為，且，所以

所以

.

設，

則，

因為，

當時，恒有，當時，恒有，

總之，時，恒有，所以在上單調遞減，

所以，所以.

（3）因為，

所以要證

即證明，，

令，

則，即證，

由（1）知，時，在 單調遞增，所以，

所以.