Question

如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C₁—C₂型點”.

(1)在正確證明的左焦點是“C₁—C₂型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C₁—C₂型點”;
(3)求證:圓內的點都不是“C₁—C₂型點”.

Answer 1

(1) C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”,且直線可以為;
(2)直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點,即原點不是“C₁-C₂型點”.
(3)直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C₁和C₂有交點,
即圓內的點都不是“C₁-C₂型點”.

試題分析：
思路分析：(1)緊扣“C₁-C₂型點”的定義，確定C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”,且直線可以為;
(2)通過研究直線與C₂有交點的條件，分別得到和 ，不可能同時成立，得到結論：直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點,即原點不是“C₁-C₂型點”.
(3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C₁有交點,則斜率必存在;
根據對稱性,不妨設直線斜率存在且與曲線C₂交于點,則
 
根據直線與圓內部有交點,得到 
化簡得,............①
再根據直線與曲線C₁有交點, 由方程組
 
化簡得,.....②
由①②得, 
但此時,因為,即①式不成立;
當時,①式也不成立 ，得出結論。
解：(1)C₁的左焦點為,過F的直線與C₁交于,與C₂交于,故C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”,且直線可以為;
(2)直線與C₂有交點,
則,若方程組有解,則必須;
直線與C₂有交點,則
,若方程組有解,則必須 
故直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點,即原點不是“C₁-C₂型點”.
(3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C₁有交點,則斜率必存在;
根據對稱性,不妨設直線斜率存在且與曲線C₂交于點,則
 
直線與圓內部有交點,故 
化簡得,............①
若直線與曲線C₁有交點,則
 
 
化簡得,.....②
由①②得, 
但此時,因為,即①式不成立;
當時,①式也不成立
綜上,直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C₁和C₂有交點,
即圓內的點都不是“C₁-C₂型點”.
點評：難題，本題綜合性較強，綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關系以及不等式問題。從思路方面講，要緊扣“C₁-C₂型點”的定義，研究方程組解的情況。