Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線(xiàn)的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線(xiàn).
（I）求曲線(xiàn)的方程；
（II）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，直線(xiàn)與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫(xiě)出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）；（II）對(duì)于任意的，直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn)．

試題分析：（I）找出題中的相等關(guān)系，列出，化簡(jiǎn)即得曲線(xiàn)的方程；（II）將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時(shí)，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為．若直線(xiàn)與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為．再證明對(duì)于任意的，直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn)，可利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程結(jié)合分析法．
試題解析：（I）設(shè)是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,根據(jù)題意,點(diǎn)的軌跡就是集合
  
由此得       
將上式兩邊平方,并化簡(jiǎn)得
即，所以曲線(xiàn)的方程為   
（II）由得，即.  
記，
則，且.
特別地，令，則.
此時(shí)，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為． 
若直線(xiàn)與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為．
以下證明對(duì)于任意的，直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn)．
事實(shí)上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為.
令，得只需證，   
即證，即證.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240211489741114.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以成立．
這說(shuō)明，當(dāng)變化時(shí)，直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn)．  …