Question

已知拋物線（且為常數），為其焦點．

（1）寫出焦點的坐標；
（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，且，求直線的斜率；
（3）若線段是過拋物線焦點的兩條動弦，且滿足，如圖所示．求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（1）（a，0）；（2）； (3) ．

試題分析：（1）∵拋物線方程為（a＞0），∴焦點為F（a，0）．
（2）設滿足題意的點為P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．
∵，
∴(a-x₀，-y₀)=2(x₁-a，y₁)，即．
又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，
∴，進而可得x₀=2a，，即y₀=±2a．
∴．
(3) 由題意可知，直線AC不平行于x軸、y軸（否則，直線AC、BD與拋物線不會有四個交點）。
于是，設直線AC的斜率為．    12分
聯立方程組，化簡得(設點),則是此方程的兩個根．
．                           13分
弦長
＝
＝
＝．                   15分
又,．． 16分
＝,當且僅當時，四邊形面積的最小值．18分
點評：中檔題，涉及曲線的位置關系問題，往往通過聯立方程組，消元后，應用韋達定理，簡化運算過程。本題（2）通過應用平面向量共線的條件，利用“代入法”，得到的關系，進一步求得直線的斜率。（3）利用函數的觀點及均值定理，確定得到面積的最小值。應用均值定理要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。