Question

已知雙曲線C₁：2x²-y²=2m²（m＞0），拋物線C₂頂點在坐標原點，焦點正好是雙曲線C₁的左焦點F．問：是否存在過F且不垂直于x軸的直線l，使l與拋物線C₂交于兩點P，Q，并且△POQ的面積為6，并說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出拋物線方程，設存在過F且不垂直于x軸的直線l：x=ky-

3

m，代入拋物線方程，利用△POQ的面積為6，即可求解．

解答： 解：雙曲線C₁：2x²-y²=2m²（m＞0）的左焦點F（-

3

m，0），
∴拋物線方程為y²=-4

3

mx，
設存在過F且不垂直于x軸的直線l：x=ky-

3

m，
代入y²=-4

3

mx，可得y²-4

3

mky+12m²=0，
∵l與與拋物線C₂交于兩點P，Q，并且△POQ的面積為6，
∴

1

2

×

3

m×

48m2k2-48m2

=6，
∴m²（m²k²-m²）=1，
∴k=±

1+m4

m2

，滿足題意．

點評：本題考查雙曲線、拋物線的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．