Question

【題目】已知橢圓的離心率，是橢圓上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關于原點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值，如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，0

【解析】

（1）根據題意可知，解方程組即可求出、，即可求解.

（2）設直線的方程為，代入橢圓，設點、，可得點，利用韋達定理以及兩點求斜率化簡即可求解.

（1）由題意知，

又離心率，所以，

于是有，

解得，．

所以橢圓的方程為；

（2）由于直線的斜率為．可設直線的方程為，

代入橢圓，可得．

由于直線交橢圓于、兩點，

所以，

整理解得．

設點、，由于點與點關于原點對稱，

故點，于是有，．

設直線與的斜率分別為，，由于點，

則

，

又，．

于是有

，

故直線與的斜率之和為0，即．