Question

（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數項是

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：將（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開得到（x-

2

x

）⁶+x²（x-

2

x

）⁶，將（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數項轉化為（x-

2

x

）⁶的常數項加（x-

2

x

）⁶的含x^-2項的系數，利用二項展開式的通項公式求出（x-

2

x

）⁶的常數項和x²（x-

2

x

）⁶的含x^-2項的系數，進一步求出（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數項．

解答： 解：因為（1+x²）（x-

2

x

）⁶=（x-

2

x

）⁶+x²（x-

2

x

）⁶，
所以（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數項轉化為（x-

2

x

）⁶的常數項加（x-

2

x

）⁶的含x^-2項的系數，
（x-

2

x

）⁶的展開式的通項為T_r+1=

C

r 6

x^6-2r（-1）^r
令6-2r=0得r=3，所以（x-

2

x

）⁶的常數項為：-

C

3 6

×2³=-160，
令6-2r=-2得r=4所以（x-

2

x

）⁶的含x^-2項的系數為

C

4 6

×2⁴=240，
所以（1+x²）（x-

2

x

）⁶展開式中的常數項為：240-160=80．
故答案為：80．

點評：本題考查等價轉化的能力、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題，屬于中檔題．