Question

已知f（x）=e^x-t（x+1）．
（1）若f（x）≥0對一切正實數x恒成立，求t的取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）+

t

ex

，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的t≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）求證：1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由已知條件推導出t＜

ex

x+1

，（x＞0）恒成立，設p（x）=

ex

x+1

，（x≥0），則p（x）≥p（0）=1，由此能求出t的取值范圍．
（2）設x₁，x₂是任意的兩實數，且x₁＜x₂，設F（x）=gx-mx，則對任意的t≤-1，x∈R，m＜g′（x）恒成立，由此能求出m的取值范圍．
（3）由（1）知x≤e^x-1．取x=

k

n

，(k=1，2，…，n-1)，則(

k

n

)n≤(e

k

n

-1)n=

ek

en

，由此能證明1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）=e^x-t（x+1），f（x）≥0對一切正實數x恒成立，
∴t＜

ex

x+1

，（x＞0）恒成立，
設p（x）=

ex

x+1

，（x≥0），則p′(x)=

xex

(x+1)2

，
∴p（x）在x∈[0，+∞）單調遞增，
p（x）≥p（0）=1．（x=1時取等號），
∴t≤1．即t的取值范圍是（-∞，1]．
（2）解：設x₁，x₂是任意的兩實數，且x₁＜x₂，

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，∴g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
設F（x）=gx-mx，則F（x）在R上單調遞增，
即F′（x）=g′（x）-m＞0恒成立，
即對任意的t≤-1，x∈R，m＜g′（x）恒成立，
∵g′（x）=ex-t-

t

ex

≥2

ex•( -t ex )

-t=-t+2

-t

=（

-t

+1）²-1≥3．
∴m＜3，即m的取值范圍是（-∞，3）．
（3）證明：由（1）知，x+1≤e^x=e^（x+1）-1，∴x≤e^x-1．
取x=

k

n

，(k=1，2，…，n-1)，則(

k

n

)n≤(e

k

n

-1)n=

ek

en

，

n-1

k=1

(

k

n

)n≤

n-1

k=1

ek

en

=

1

en

•

e(1-en-1)

1-e

=

e

1-e

(

1

e

-

1

en

)＜

1

e-1

＜1，

n-1

k=1

(

k

n

)n＜1，∴

n-1

k=1

kn＜nn，
∴1ⁿ+2ⁿ+…+（n-1）ⁿ≤nⁿ（n∈N^*）．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．