Question

若關于x的方程

1-x2

=kx+2有惟一的實數解，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：首先，設函數y=

1-x2

與函數y=kx+2，然后，根據兩個圖形，借助于直線與圓的位置關系進行求解．

解答： 解：設函數y=

1-x2

與函數y=kx+2，
則函數y=

1-x2

的圖象是一個以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓的上半部分，
函數y=kx+2的圖象則為恒過定點（0，2）的直線，
因為關于x的方程

1-x2

=kx+2有惟一的實數解，
∴兩個圖象有一個交點，
當直線與圓相切時，
此時，

2

k2 +1

=1，
∴k=±

3

，
當直線過點（-1，0）和（1，0）時，
解得k=-2，k=2，
此時，k＜-2或k＞2
綜上，符合條件的范圍為：k＜-2或k＞2或k=±

3

．
故答案為：k＜-2或k＞2或k=±

3

．

點評：本題重點考查了方程的根和函數的零點的對應關系，理解數形結合思想在求解問題中的應用，屬于中檔題．