Question

【題目】已知全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2≤4x≤8}，C={x|a﹣4＜x≤2a﹣7}．
（1）求（UA）∩B；
（2）若A∩C=C，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，

∴UA={x|x≤﹣1或x≥1}，

∵B={x|2≤4x≤8}={x|1≤2x≤3}={x| ≤x≤ }，

∴（UA）∩B={x|1≤x≤ }；

（2）解：由A∩C=C得，CA，且C={x|a﹣4＜x≤2a﹣7}，

①當C=時，a﹣4≥2a﹣7，解得a≤3；

②當C≠時，則 ，解得3＜a＜4，

綜上可得，實數a的取值范圍是（﹣∞，4）．

【解析】（1）由題意和補集的運算求出UA，由指數函數的性質求出B，由交集的運算求出（UA）∩B；（2）由A∩C=C得CA，對C分類討論，由子集的定義分別列出不等式，求出實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解集合的交集運算的相關知識，掌握交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立，以及對交、并、補集的混合運算的理解，了解求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法．