Question

【題目】函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）（x∈R）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式并求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小值并指出函數f（x）取最小值時相應的x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）（x∈R）的部分圖象可得A=2，最小正周期T=2（ ）=π，得ω=2，可得函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+φ），
又f（ ）=2，
所以sin（ +φ）=1，
由于|φ|＜ ，可得φ= ，
所以函數f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+ ）
由于2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，可得kπ﹣ ≤x≤kπ+ （k∈Z），
所以函數f（x）的單調遞增區間為：[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z），
（Ⅱ）函數f（x）的最小值為﹣2，
函數f（x）取最小值﹣2時，有2x+ =2kπ﹣ （k∈Z），可得：x=kπ﹣ （k∈Z），
所以函數f（x）取最小值﹣2時相應的x的值是：x=kπ﹣ （k∈Z）
【解析】（Ⅰ）由圖形可確定A，周期T，從而可得ω的值，再由f（ ）=2，得2× +φ= +2kπ（k∈Z），進一步結合條件可得φ的值，即可解得f（x）的解析式，由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，可得函數f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）由正弦函數的圖象和性質，由2x+ =2kπ﹣ （k∈Z），即可解得函數f（x）的最小值并指出函數f（x）取最小值時相應的x的值．
【考點精析】關于本題考查的三角函數的最值，需要了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．