Question

已知坐標平面內⊙C：(x+1)2+y2=

1

4

，⊙D：(x-1)2+y2=

49

4

．動圓P與⊙C外切，與⊙D內切．
（1）求動圓圓心P的軌跡C₁的方程；
（2）若過D點的斜率為2的直線與曲線C₁交于兩點A、B，求AB的長；
（3）過D的動直線與曲線C₁交于A、B兩點，線段AB中點為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

（1）據題意，當令動圓半徑為r時，有

|PC|=r+ 1 2 |PD|= 7 2 -r

，所以|PC|+|PD|=4
由橢圓定義可知，點P的軌跡是以C（-1，0）、D（1，0）為焦點的橢圓．
令橢圓方程為

x2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)
所以a=2，b²=2²-1=3，所以P的軌跡方程為

x2

4

+

x2

3

=1．
（2）過D點斜率為2的直線方程為：y=2x-2．
由

y=2x-2 x2 4 + y2 3 =1

，消y得到19x²-32x+4=0，
∴|AB|=

1+22

322-4×19×4

19

=

60

19

；
（3）由點差法可得KOM•KAB=-

b2

a2

=-

3

4

，
若令M坐標為（x，y），則有

y

x

•

y

x-1

=-

3

4

，
化簡可得：3x²+4y²-3x=0．