Question

已知a∈R，函數f（x）=-

lnx

x

+e^ax-1（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為a，求a的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=-

lnx

x

+e^x-1，f′（x）=-

1-lnx

x2

+e^x-1，分別由f′（x）＞0，f′（x）＜0，進而求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅱ）由題意可知：-

lnx

x

+e^ax-1≥a恒成立，且等號可取．令g（x）=xe^ax-1-ax-lnx
轉化為方程g（x）_min=g（-

1

a

）=0求解．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=-

lnx

x

+e^x-1，f′（x）=-

1-lnx

x2

+e^x-1，
當x＞1時，f′（x）＞-

1-lnx

x2

+1=

x2-1+lnx

x2

＞0，
當0＜x＜1時，f′（x）＜-

1-lnx

x2

+1=

x2-1+lnx

x2

＜0，
所以f（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）．
（Ⅱ）由題意可知：-

lnx

x

+e^ax-1≥a恒成立，且等號可取．
即xe^ax-1-ax-lnx≥0恒成立，且等號可取．
令g（x）=xe^ax-1-ax-lnx
則g′（x）=（ax+1）（eax-1-

1

x

）
由eax-1-

1

x

=0，得到a=

1-lnx

x

，設p（x）=

1-lnx

x

，p′（x）=

lnx-2

x2

當x＞e²時，p′（x）＞0；當0＜x＜e²時，p′（x）＜0．
p（x）在（0，e²）上遞減，（e²，+∞）上遞增．所以p（x）_min=p（e²）=-

1

e2

當a≤-

1

e2

時，a≤

1-lnx

x

，即eax-1-

1

x

≤0，
在（0，-

1

a

）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）遞減；
在（-

1

a

，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）遞增．
所以g（x）_min=g（-

1

a

）
設t=-

1

a

∈（0，e²]，g（-

1

a

）=h（t）=

t

e2

-lnt+1，h′（t）=

1

e2

-

1

t

≤0，h（t）在（0，e²]上遞減，所以h（t）≥h（e²）=0
故方程g（x）_min=g（-

1

a

）=0有唯一解-

1

a

=e²，即a=-

1

e2

．
綜上所述，當a≤-

1

e2

時，僅有a=-

1

e2

．
滿足f（x）的最小值為a，
故a的最小值為-

1

e2

．

點評：本題考查利用導數的方法研究函數的單調性、極值、最值和分類討論的思想方法，注意函數的定義域；屬難題．