Question

下列命題中正確命題的個數是（　　）
①對任意兩向量

a

、

b

，均有：|

a

|-|

b

|＜|

a

|+|

b

|
②若單位向量

a

、

b

夾角為120°，則當|2

a

+x

b

|（x∈R）取最小值時，x=1
③若

OB

=（6，-3），

OA

=（3，-4），

OC

=（5-m，-3-m），∠ABC為銳角，則實數m的取值范圍是m＞-

3

4

④在四邊形ABCD中，（

AB

+

BC

）-（

CD

+

DA

）=

0

．

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：①讓|

b

|=0，便不符合該命題，所以該命題錯誤．
②為求|2

a

+x

b

|，先求(2

a

+x

b

)2，只要讓(2

a

+x

b

)2最小即可．
③由∠ABC為銳角，能得到0＜cos∠ABC＜1，根據向量的夾角計算公式便可得到m的取值范圍．
④根據向量的加法，減法運算便可判斷該命題．

解答： 解：①若設|

b

|=0，則有|

a

|-|

b

|=|

a

|+|

b

|．
②(2

a

+x

b

)2=4+4x×(-

1

2

)+x2=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3
∴x=1時，|2

a

+x

b

|取得最小值．所以該命題正確．
③根據已知條件：

BA

=(-3，-1)，

BC

=(-m-1，-m)；
∴

BA

•

BC

=4m+3，|

BA

|=

10

，|

BC

|=2m²+2m+1；
∴cos∠ABC=

4m+3

2m2+2m+1

；
∵∠ABC為銳角，∴0＜

4m+3

2m2+2m+1

＜1，解得m＞

1+ 5

2

，   或m＜

1- 5

2

，所以該命題錯誤．
④(

AB

+

BC

)-(

CD

+

DA

)=2

AC

，所以本命題錯誤．
所以正確的命題個數為：1．
故選B．

點評：考查的知識點有：向量的數量積的運算公式，向量夾角的計算公式，向量的加減法，兩向量模的差與模的和的大小關系，注意求一個向量的長度，先求該向量的平方的方法．