Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點P（1， ），離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M，N，記△F1MN的內切圓的面積為S，求當S取最大值時直線l的方程，并求出最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得 =1， = ，a2=b2+c2 ，
解得a=2，b= ，c=1，
橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），△F1MN的內切圓半徑為r，
則 = （|MN|+|MF1|+|NF1|）r= ×8r=4r，
所以要使S取最大值，只需 最大，
則 = |F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，
設直線l的方程為x=ty+1，
將x=ty+1代入 ；
可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）
∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，
y1+y2= ，y1y2= ，
= = ，
記m= （m≥1），
= = 在[1，+∞）上遞減，
當m=1即t=0時，（ ）max=3，
此時l：x=1，Smax= π．
【解析】（Ⅰ）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；（Ⅱ）設M（x1 ， 1），N（x2 ， y2），△F1MN的內切圓半徑為r，運用等積法和韋達定理，弦長公式，結合基本不等式即可求得最大值．