Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）ex+ax2有兩個零點 （Ⅰ）當a=1時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求a的取值范圍；
（Ⅲ）設x1 ， x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=（x﹣1）ex+x2 ， f′（x）=xex+2x=x（ex+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故函數f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
故f（x）的最小值是f（0）=﹣1；
（Ⅱ）f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a），
（i）當a＞0時，
函數f（x）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．
∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2+4a＞0，
取實數b滿足b＜﹣2且b＜lna，
則f（b）＞a（b﹣1）+ab2=a（b2+b﹣1）＞a（4﹣2﹣1）＞0，
所以f（x）有兩個零點
（ii）若a=0，則f（x）=（x﹣1）ex ， 故f（x）只有一個零點，
（iii）若a＜0，當a≥﹣ ，則f（x）在（0，+∞）單調遞增，
又當x≤0時，f（x）＜0，故f（x）不存在兩個零點；
當a＜﹣ ，則函數在（ln（﹣2a），+∞）單調遞增，在（0，ln（﹣2a））單調遞減；
又當x≤1時，f（x）＜0，故不存在兩個零點；
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．
證明：（Ⅲ）不妨設x1＜x2 ．
由（Ⅱ）知x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，+∞），﹣x2∈（﹣∞，0），
則x1+x2＜0等價于x1＜﹣x2 ．
因為函數f（x）在（﹣∞，0）單調遞減，
所以x1＜﹣x2等價于f（x1）＞f（﹣x2），即證明f（﹣x2）＜0．
由f（x2）=（x2﹣1）ex2+a =0，得a =（1﹣x2）ex2 ，
f（﹣x2）=（﹣x2﹣1）e﹣x2+a =（﹣x2﹣1）e﹣x2+（1﹣x2）ex2 ，
令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex ， x∈（0，+∞），
g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，g（x）在（0，+∞）單調遞減，
又g（0）=0，所以g（x）＜0，
所以f（﹣x2）＜0，即原命題成立
【解析】（Ⅰ）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可；（Ⅱ）求出f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a），通過（i）當a＞0時，判斷函數的單調性，判斷零點個數；（ii）若a=0，判斷f（x）只有一個零點．（iii）若a＜0，利用單調性判斷零點個數即可．（Ⅲ）不妨設x1＜x2 ． 推出x1＜﹣x2 ． 利用函數f（x）在（﹣∞，0）單調遞減，證明f（﹣x2）＜0．令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex ， x∈（0，+∞）．利用g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，轉化證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．