Question

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ABE﹣DCF和一個四棱錐P﹣ABCD組合而成，其中EF＝EA＝EB＝2，AE⊥EB，PA＝PD，平面PAD∥平面EBCF．

（1）證明：平面PBC∥平面AEFD；

（2）求直線AP與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）取EF中點O，BC中點G，AD中點H，連結OH，PH，OG，PG，證明OH∥PG，AD∥BC，故得證.

（2）以O為原點，OE為x軸，OG為y軸，OH為z軸，建立空間直角坐標系，計算平面PCD的法向量，借助線面角的向量公式即得解.

證明：取EF中點O，BC中點G，AD中點H，連結OH，PH，OG，PG，

由題意得PH2＝OH＝OG，

∴PHOG，∴四邊形PHOG是平行四邊形，∴OH∥PG，

∵ABDC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，

∵AD∩OH＝H，BC∩PG＝G，

∴平面PBC∥平面AEFD．

以O為原點，OE為x軸，OG為y軸，OH為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（1，0，2），P（0，2，2），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，2），

（1，﹣2，0），（﹣1，0，﹣2），（﹣1，﹣2，0），

設平面PCD的法向量（x，y，z），

則，取x＝2，得（2，﹣1，﹣1），

設直線AP與平面PCD所成角為θ，

則sinθ．

∴直線AP與平面PCD所成角的正弦值為．