Question

【題目】如圖，三棱錐中，，，，，.

（1）求證：平面平面ABC；

（2）M是線段AC上一點，若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）過點S作于點H，連接BH，要證明面面垂直，轉化為證明線面垂直，即證明平面；

（2）以點H為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，在平面上垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的一個法向量為，，利用公式求二面角的大小.

（1）證明：過點S作于點H，連接BH，在中，由，，，可得，，在中，由，，可得，，在中，由，，可得，在中，由余弦定理可得 ，即 ，

在中，，，，

又，，

平面，

平面，

平面平面.

（2）如圖所示，以點H為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，在平面上垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，

則，，

易知平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，

則 ，即 ，

令，得 ，

于是，

又二面角為鈍角，所以二面角為.