Question

【題目】如圖，幾何體中，，均為邊長為2的正三角形，且平面平面，四邊形為正方形.

（1）若平面平面，求證:平面平面；

（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點,的中點,連接.可證明,結合,可知四邊形為平行四邊形.進而由和及平面與平面平行的判定定理證明平面平面;

（2）連結,可知即為二面角的平面角.以為原點建立空間直角坐標系.由線段關系寫出各個點的坐標,求得平面的法向量,即可根據直線與平面夾角的向量關系求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：取的中點,的中點,連接.如下圖所示:

因為,且平面平面,

所以平面,

同理平面,

所以,

又因為,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,平面,

又, 平面,

又因為和交于點

所以平面平面.

（2）連結,則,

又

所以為二面角的平面角,

所以

建立如圖所示的空間直角坐標系,

則

所以

設平面的一個法向量是,

則,即,

令,即,

又因為,

所以,

即所求的角的正弦值為.