Question

【題目】設數列的前項和為，且，數列為等差數列，且，.

（1）求數列和的通項公式；

（2）設，求數列的前項和；

（3）若對任意正整數，不等式均成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）；（3）最大值為4.

【解析】

根據即可求出數列的通項公式,再結合，，即可求出等差數列的通項公式;

由知,,利用錯位相減法求其前n項和即可;

由知,,利用分離參數法可得, 等價于,令,利用數列單調性的定義求數列的最小值即可.

（1）當時，；

當時，，此式當時也成立.

∴.

∴，.

∵，，

∴，，公差，

由等差數列通項公式得,;

（2）由（1）知, ，，

所以，

所以數列的前n項和為，

，

兩式相減可得，

；

（3）因為，

所以等價于，

令，

則

當時，.

而，數列從第2項起是遞增數列，

故，

所以即實數的最大值為4.