Question

已知橢圓的左、右焦點分別是、，離心率為，橢圓上的動點到直線的最小距離為2，延長至使得，線段上存在異于的點滿足.

（1）   求橢圓的方程；

（2）   求點的軌跡的方程；

（3）   求證：過直線上任意一點必可以作兩條直線

與的軌跡相切，并且過兩切點的直線經過定點.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）直線經過定點（1,0）.

【解析】本試題主要考查了圓與直線，以及橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

解：（1）依題意得，    ………………………………………………2分

解得，∴ ……………………………………………………………3分

橢圓的方程為   …………………………………………………………………4分

（2）解法1：設點T的坐標為(x,y).

當重合時，點坐標為和點，     …………………………………5分

當不重合時，由，得.  ……………………………6分

由及橢圓的定義，， …………7分

所以為線段的垂直平分線，T為線段的中點

在中，，  …………………………………………8分

所以有.

綜上所述，點的軌跡C的方程是.    …………………………………9分

（3）   直線與相離，

過直線上任意一點可作圓的兩條切線   …………10分

所以

所以O,E,M,F四點都在以OM為直徑的圓上，  …………………………11分

其方程④      …………………………12分

  EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分

顯然無論t為何值，直線ef經過定點(1,0).           ………………14分