Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，橢圓的離心率為

1

2

且經過點P(1，

3

2

)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF₂為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

1

2

，可得a=2c，從而b²=a²-c²=3c²，故橢圓的標準方程可設為：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，將點P(1，

3

2

)代入，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設M（x₀，y₀）則半徑r=

(x0-1)2+y02

，圓心到y軸的距離d=|x₀|，根據圓M與y軸有兩個交點及M在橢圓上，即可確定點M橫坐標的取值范圍；
（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16，使得圓N與圓M相切，圓心N為橢圓的左焦點F₁，利用橢圓的定義，可知兩圓相內切．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²
∴橢圓的標準方程可設為：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1
又∵過點P(1，

3

2

)，∴

1

4c2

+

9 4

3c2

=1
∴c=1
∴橢圓的標準方程為：

x2

4

+

y2

3

 =1
（2）設M（x₀，y₀）則半徑r=

(x0-1)2+y02

，圓心到y軸的距離d=|x₀|
若圓M與y軸有兩個交點，則有r＞d，即有

(x0-1)2+y02

＞|x0|，化簡得y02-2x0+1＞0，
∵M在橢圓上，∴y02=3-

3

4

x02，代入上不等式得3x02+8x0-16＜0解得：-4＜x0＜

4

3

，
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x0＜

4

3

（3）存在定圓N：（x+1）²+y²=16，使得圓N與圓M相切，圓心N為橢圓的左焦點F₁，
由橢圓的定義知，|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴|MF₁|=4-|MF₂|
∴兩圓相內切．

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查圓與圓的位置關系，考查圓與橢圓知識的綜合，屬于中檔題．