Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 已知2Sn=3n+1+2n﹣3．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{nan}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=3n+1+2n﹣3，

∴當n≥2時，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3n+1+2n﹣3）﹣[3n+2（n﹣1）﹣3]=23n+2，

∴an=3n+1，

又a1=S1= （32+2×1﹣3）=4，適合上式，

∴an=3n+1；

（2）解：由（1）知an=3n+1，則nan=n3n+n，

∵數列{nan}的前n項和Tn，

則Tn=131+232+…+n3n+（1+2+3+…+n），

令An=131+232+…+n3n，①

則3An=132+233+…+（n﹣1）3n+n3n+1，②

①﹣②得：﹣2An=31+32+…+3n﹣n3n+1

= ﹣n3n+1=（ ）3n+1﹣ ，

∴An= 3n+1+ ．

∴Tn= 3n+1+ +

【解析】（1）由Sn=3n+1+2n﹣3，可得當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+1，再檢驗當n=1時，a1是否適合上式，即可求得數列{an}的通項公式；（2）依題意，nan=n3n+n，Tn=131+232+…+n3n+（1+2+3+…+n），令An=131+232+…+n3n ， 利用錯位相減法可求得An= 3n+1+ ，而1+2+3+…+n= ，從而可得數列{nan}的前n項和Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．