考點：等差數列的通項公式,平面向量的基本定理及其意義,三角函數的化簡求值
專題：等差數列與等比數列
分析：由
2=(cos)2+(sin)2，得cos（A-B）+3cosC=0，當C最大時，A=B，cosC=-
．由|MA|，|AB|，|MB|成等差數列，知M的軌跡是以A，B為焦點、2|AB|為長軸的橢圓，由此能求出
最大值．
解答：
解：∵
=（cos
，
sin
），|
|=
∴
2=(cos)2+(sin)2=
[1+cos（A-B）+3-3cos（A+B）]=2，
∴0=cos（A-B）-3cos（A+B）=cos（A-B）+3cosC，
當C最大時，A=B，cosC=-
，
∵|MA|，|AB|，|MB|成等差數列，
∴|MA|+|MB|=2|AB|，
∴M的軌跡是以A，B為焦點、2|AB|為長軸的橢圓，
∵比值與單位的選擇無關，∴設|AB|=2，AB的中點為O，
由A=B，知|AC|=|BC|=p，
由余弦定理，2p
2（1+
）=4，解得p
2=
，
∴|OC|=
=
，
直觀判斷，當M是上述橢圓的短軸端點（與點C在AB的兩側），
這時|OM|=
，
∴
最大值為
=
．
故答案為：
．
點評：本題考查兩線段比值的最大值的求法，解題時要認真審題，注意向量、數列、橢圓等知識點的綜合運用．
某中學校園內原有一塊四分之一圓面形狀的草坪AMN（圖1），其中AM=AN=8m，∠MAN=90°．今年暑假整治校園環境時，為美觀起見，學校設計將原有草坪擴大，具體實施方案是：從圓弧上一點P作圓弧的切線BD，分別與AM，AN的延長線交于B，D，并以AB，AD為鄰邊構造矩形ABCD，再以C為圓心制作一塊與AMN形狀相同的草坪，構成矩形綠地ABCD（圖2）．