Question

已知函數f（x）=

1

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x³-x²+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（1）求實數a，b的值；   
（2）若對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數c的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數的幾何意義求出切線的斜率，點斜式求得切線方程，和已知的切線方程比較系數可得a、b值；
（2）由題意，對于定義域內任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉化為求函數在定義域下的最值即可得解．

解答： 解：（1）∵f（0）=b，∴點P （0，b）．∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函數f（x）的圖象在點P處的切線斜率為 a，故此處的切線方程為  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b．又已知此處的切線方程為y=3x-2，∴a=3，b=-2．
（2）根據（1）可得f（x）=

1

3

x³-x²+3x-2；
求導得f′（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∴f′（x）＞0在[-2，2]上恒成立，故f（x）為增函數，
f（-2）=2，f（2）=-2，
∴f（x）_max=f（2）=

8

3

，f（x）_min=f（-2）=-

44

3

，
∴要使對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=

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3

，
故c的最小值為

52

3

．

點評：本題考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性和最值，考查了數學中等價轉化的思想的運用能力，屬中檔題．