Question

【題目】設(shè)斜率不為0的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為.

（1）求證：的值與直線的斜率的大小無關(guān)；

（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，求得，

再直線與橢圓方程聯(lián)立，求得，求的，代入化簡，即可得到結(jié)論．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由得求得，由（1）中，求得弦長，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線的距離，即可得到面積的表達(dá)式，進(jìn)而求解面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)直線l：，，，，．

聯(lián)立和，得，則，，

，

聯(lián)立和得，

在的情況下，

，，

，

所以 是一個(gè)與k無關(guān)的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而由得

得m=4（m=0顯然不合題意），

此時(shí)， ，，

，　　

點(diǎn)到直線的距離，

所以，　

（求面積的另法：將直線l與y軸交點(diǎn)（0,4）記為E，則

，也可得到）

設(shè)，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值．